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堆（优先队列）是一种基于完全二叉树的动态数据结构，核心特性是快速获取最值（大根堆获取最大值，小根堆获取最小值），插入和删除操作的时间复杂度均为O(log⁡n)O(\log n)O(logn)。它广泛应用于“动态维护最值”“Top-K 问题”“中位数维护”等场景，是处理动态数据的高效工具。本文通过4道经典题目，拆解堆在不同场景下的解题思路与代码实现。

一、最后一块石头的重量

题目描述：
有一堆石头，每回合选两块最重的石头粉碎：若重量相等则完全粉碎，否则剩下重量为两者差值的石头。返回最后剩下的石头重量（无剩余则返回0）。

示例：

• 输入：stones = [2,7,4,1,8,1]，输出：1（粉碎过程：8-7=1→4-2=2→2-1=1→1-1=0→剩1）

解题思路：
用大根堆维护石头重量，每次取最大的两块处理：

1. 将所有石头重量入大根堆。
2. 当堆中元素数>1时，取出最大的两块a和b（a ≥ b）：
   • 若a > b，将a - b入堆；
   • 若a == b，直接丢弃两块。
3. 最终堆中若有元素则返回堆顶，否则返回0。

完整代码：

classSolution{public:intlastStoneWeight(vector<int>&stones){priority_queue<int>heap;// 大根堆（默认）for(autox:stones)heap.push(x);while(heap.size()>1){inta=heap.top();heap.pop();intb=heap.top();heap.pop();if(a>b)heap.push(a-b);}returnheap.size()?heap.top():0;}};

复杂度分析：

• 时间复杂度：O(nlog⁡n)O(n\log n)O(nlogn)，n为石头数量，每次入堆/出堆操作时间为O(log⁡n)O(\log n)O(logn)，最多执行nnn次。
• 空间复杂度：O(n)O(n)O(n)，堆存储所有石头重量。

二、数据流中的第K大元素

题目描述：
设计一个类，动态维护数据流中的第K大元素（排序后的第K大，非第K个不同元素）。实现KthLargest类，包含初始化和添加元素后返回第K大的方法。

示例：

• 初始化：k=3, nums=[4,5,8,2]，添加3→返回4，添加5→返回5，添加10→返回5。

解题思路：
用小根堆维护“前K大的元素”，堆顶即为第K大元素：

1. 初始化时，将所有元素入堆，若堆大小超过K则弹出堆顶（保留前K大的元素）。
2. 添加元素时，将新元素入堆，若堆大小超过K则弹出堆顶，堆顶即为当前第K大元素。

完整代码：

classKthLargest{int_k;priority_queue<int,vector<int>,greater<int>>heap;// 小根堆public:KthLargest(intk,vector<int>&nums){_k=k;for(auto&x:nums){heap.push(x);if(heap.size()>_k)heap.pop();}}intadd(intval){heap.push(val);if(heap.size()>_k)heap.pop();returnheap.top();}};

复杂度分析：

• 初始化时间：O(nlog⁡K)O(n\log K)O(nlogK)，n为初始元素数，每个元素入堆/出堆时间为O(log⁡K)O(\log K)O(logK)。
• 添加元素时间：O(log⁡K)O(\log K)O(logK)，每次入堆/出堆时间为O(log⁡K)O(\log K)O(logK)。
• 空间复杂度：O(K)O(K)O(K)，堆最多存储K个元素。

三、前K个高频单词

题目描述：
给定单词列表words和整数k，返回前K个出现次数最多的单词（频率相同按字典序升序排列）。

示例：

• 输入：words = ["i","love","leetcode","i","love","coding"], k=2，输出：["i","love"]（频率均为2，字典序i < love）

解题思路：
哈希表统计频率 + 小根堆维护前K个高频单词：

1. 用哈希表统计每个单词的出现频率。
2. 定义小根堆的比较规则：
   • 频率不同时，频率小的优先出堆；
   • 频率相同时，字典序大的优先出堆（保证堆顶是“频率最小/字典序最大”的候选，弹出后保留前K个）。
3. 遍历哈希表，将“单词-频率”入堆，若堆大小超过K则弹出堆顶。
4. 逆序收集堆中元素（因小根堆弹出的是较小的元素，需反转得到从大到小的顺序）。

完整代码：

classSolution{typedefpair<string,int>PSI;structcmp{booloperator()(constPSI a,constPSI b){if(a.second==b.second)returna.first<b.first;// 频率相同，字典序大的优先出堆elsereturna.second>b.second;// 频率小的优先出堆}};public:vector<string>topKFrequent(vector<string>&words,intk){unordered_map<string,int>hash;for(auto&x:words)hash[x]++;priority_queue<PSI,vector<PSI>,cmp>heap;for(auto&psi:hash){heap.push(psi);if(heap.size()>k)heap.pop();}vector<string>ret(k);for(inti=heap.size()-1;i>=0;i--){ret[i]=heap.top().first;heap.pop();}returnret;}};

复杂度分析：

• 时间复杂度：O(mlog⁡k)O(m\log k)O(mlogk)，m为不同单词的数量，每个单词入堆/出堆时间为O(log⁡k)O(\log k)O(logk)。
• 空间复杂度：O(m+k)O(m + k)O(m+k)，哈希表存储所有单词频率，堆存储K个单词。

四、数据流的中位数

题目描述：
设计一个类，动态维护数据流的中位数（奇数个元素取中间值，偶数个取中间两个的平均值）。实现MedianFinder类，包含添加元素和获取中位数的方法。

示例：

• 添加1→添加2→中位数1.5→添加3→中位数2.0

解题思路：
用两个堆维护数据流的左右两部分：

1. 大根堆left：存储左半部分元素（≤中位数），堆顶为左半部分最大值；
2. 小根堆right：存储右半部分元素（≥中位数），堆顶为右半部分最小值；
3. 保持平衡规则：
   • 总元素数为偶数时，left.size() == right.size()；
   • 总元素数为奇数时，left.size() = right.size() + 1（中位数为left.top()）；
4. 添加元素时，根据元素与堆顶的大小关系选择入堆，并调整堆的大小以保持平衡。

完整代码：

classMedianFinder{priority_queue<int>left;// 大根堆（左半部分）priority_queue<int,vector<int>,greater<int>>right;// 小根堆（右半部分）public:MedianFinder(){}voidaddNum(intnum){if(left.size()==right.size()){if(left.empty()||num<left.top()){left.push(num);}else{right.push(num);left.push(right.top());right.pop();}}else{if(num<left.top()){left.push(num);right.push(left.top());left.pop();}else{right.push(num);}}}doublefindMedian(){if(left.size()==right.size())return(left.top()+right.top())/2.0;elsereturnleft.top();}};

复杂度分析：

• 添加元素时间：O(log⁡n)O(\log n)O(logn)，每次入堆/出堆时间为O(log⁡n)O(\log n)O(logn)。
• 获取中位数时间：O(1)O(1)O(1)，直接取堆顶计算。
• 空间复杂度：O(n)O(n)O(n)，两个堆存储所有元素。