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图片来自《鸢尾花书4矩阵力量》

这张图在讲一件很核心、很“机器学习/线性代数”风格的事：

把“两个方程”打包成一个矩阵方程Ax=b，然后用逆矩阵A⁻¹一步解出未知量x。

我按图里的顺序，用最通俗的方式解释一遍。

1）左边：原本是两个一元一次方程（其实是二元）

图里一开始是：

你可以把它理解成：

• 第一条：

• 第二条：

我们要找的就是x1和x2​这两个未知数。

2）中间：把系数“收集”成一个矩阵

图里做了一个“打包”动作：

它对应关系非常直观：

✅ 系数矩阵 A

就是把每个方程里 x1,x2​ 的系数按顺序排成表格。

✅ 未知量向量 x

把未知数竖着放成一列。

✅ 常数向量 b

把等号右边的常数竖着放成一列。

3）一句话写法：Ax = b

所以图里写：

Ax=b

意思就是：

矩阵 A 乘上未知向量 x，结果等于 b。

这相当于把“两条方程”合成了“一条矩阵方程”。

4）怎么求解 x？用逆矩阵“反过来乘”

如果矩阵 A 是可逆的，那么就能两边同时左乘A⁻¹：

因为：

是单位矩阵（相当于数字里的 1），所以：

因此得到结论：

这就是图里最关键的公式：

✅解向量 x = 逆矩阵 A⁻¹ × b

5）图里给出了 A 的逆矩阵，并算出了结果

A 的逆矩阵，是如何算出来的？

我们一步步把它算出来（完全对应你图里的 A）：

(5.1）先写出矩阵 A

(5.2）2×2 逆矩阵有一个“万能公式”

对任何

它的逆矩阵是：

你会看到它分两部分：

1. 分母 ad−bc：叫做行列式（determinant）

2. 右边那个矩阵：把 a,d 交换，b,c 变号

(5.3）代入 A 的 a,b,c,d

对

所以：

• a=1

• b=1

• c=2

• d=4

(5.4）先算行列式 det(A)

✅ 行列式不为 0，说明A 可逆。

(5.5）按规则拼出“伴随矩阵那部分”

公式里那部分：

(5.6）最后除以 det(A)=2

✅ 这就得到了你图里那个逆矩阵：

(5.7）为什么这个公式一定对？（快速验算）

逆矩阵的定义是：

我们直接乘一下看看是不是单位矩阵：

逐项算：

• 左上：2−1=1

• 右上：−0.5+0.5=0

• 左下：4−4=0

• 右下：−1+2=1

得到：

✅ 完全正确。

总结（最记忆友好的版本）

对 2×2 矩阵：

逆矩阵就是：

图中写：

然后计算：

我们来手算验证一下，让它更“有感觉”。

✅ 算 x1

逐步算：

所以：

✅ 算 x2

逐步算：

所以：

6）最后一句：逆矩阵完成了 “b → x 的线性映射”

图里最后写：

逆矩阵完成 b→x 线性映射。

这句话用大白话讲就是：

你给我一个结果 b，我用立刻把它“翻译回”未知数 x。

就像：

• A 是“从原因推出结果”的机器（给 x 得 b）

• 是“从结果反推原因”的机器（给 b 得 x）

7）用原方程再验算一次（更踏实）

我们算出。

带回去：

1. x1+x2=23+12=35✅

2. ✅

完全匹配。

总结一句话（最通俗版）

这张图就是在讲：

把多个方程整理成矩阵形式Ax=b，再用x=A⁻¹b一步解出所有未知数。