今天在上课时见识到了北京的神秘升学考试题，出得相当美丽，因此来记述一下。
\(\large\mathbf{P}\)\(\small\mathbf{ROBLEM\ 1}\) 计算：\(\displaystyle \dfrac{\displaystyle\sum^{99}_{i=1}\sqrt{10+\sqrt n}}{\displaystyle\sum^{99}_{i=1}\sqrt{10-\sqrt n}}\)
这道题看上去就不是什么善茬。我们尝试对其进行基本的处理。
解：设 \(a_n=\sqrt{10+\sqrt n}，b_n=\sqrt{10-\sqrt n}\)。
可以看到两个根式似乎有一些共轭的意思，我们可以对其进行一些基本计算：
\(a_n^2 + b_n^2=20\)，\(a_nb_n=\sqrt{100-n}\)，$a_n+b_n=\sqrt{(a_n+b_n)^2}=\sqrt2\sqrt{10+\sqrt{100-n}} $。
诶！这个后面这一项似乎和前面的定义很类似，不过是吧 \(n\) 换成了 \(100-n\)。
于是，我们得到：\(a_n+b_n=\sqrt2 a_{100-n}\)
这样，我们就代入计算：
\(\displaystyle \sum_{i=1}^{99}a_i+\sum_{i=1}^{99}b_i=\sqrt2 \sum_{i=1}^{99}a_i\)
\(\displaystyle\sum_{i=1}^{99}b_i=(\sqrt2-1)\sum_{i=1}^{99}a_i\)
于是：原式 \(=\displaystyle \dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^{99}a_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^{99}b_i}=\sqrt2+1\)
\(\large\mathbf{P}\)\(\small\mathbf{ROBLEM\ 2}\) 已知 \(x\in R\)，\(x^2-x\) 和 \(x^4-x\) 都为整数，证明：\(x\in Z\)
这道题看起来是数论，但是实际上用二次方程整系数的有理根问题就能做。首先，我们要对题目条件因式分解：
\(\begin{cases}x(x-1)\in Z \\ x(x-1)(x^2+x+1)\in Z\end{cases}\)
有第一个条件，得到：\(x^2+x+1\in Q\)，以及 \(x^2-x\in Z\)
这样，我们得到：\(2x+1\in Q\)，即 \(x\in Q\)。似乎距离终点很近了。
设 \(x^2-x=n，n\in R\)，则 \(x^2-x-n=0\)，化为一个二次方程。
因为它的根x是个有理数，所以 \(\Delta=4n+1\)，是个奇完全平方数。
由此，我们得到该方程的两个根 \(x=\dfrac{1\pm\sqrt{4n+1}}{2}\)，为整数。证明完毕。