专题：数列 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) 题型：求前n项和 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) 难度系数：★★★
【题目】
（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知首项为\(1\)的等差数列\(\{a_n \}\)满足：\(a_1\)，\(a_2\)，\(a_3+1\)成等比数列．
(1)求数列\(\{a_n \}\)的通项公式；
(2)若数列\(\{b_n \}\)满足：\(a_1 b_n+a_2 b_{n-1}+⋯+a_n b_1=3^n-1\)，求数列\(\{b_n\}\)的通项公式；
(3)记\(c_n=\sqrt{\dfrac{n-1}{n(n+1) } }\)，\(n∈N^*\)，证明：\(c_1+c_2+⋯+c_n<2\sqrt{a_n}\)．
【分析】
第一问： 由\(a_1\)，\(a_2\)，\(a_3+1\)成等比数列可得\(a_2^2=a_1 (a_3+1)\)，再由\(a_1=1\)，可求出公差\(d\)，便可得到通项公式\(a_n=n\)；
第二问： 由（1）得\(a_n=n\)，所以\(b_n+2b_{n-1}+⋯+nb_1=3^n-1\)①，
所以\(b_{n-1}+2b_{n-2}+⋯+(n-2)b_2+(n-1)b_1=3^{n-1}-1\)②，
由①-②得，\(b_n+b_{n-1}+⋯+b_1=2⋅3^{n-1}\)③，
此处把\(b_n+b_{n-1}+⋯+b_1\)理解为数列\(\{b_n \}\)的前n项和\(S_n\)，
再利用通项公式与前\(n\)项和之间的公式\(b_n=\left\{ \begin{array}{c} S_1&,n=1\\ S_n-S_{n-1}&,n≥2 \end{array} \right. \)求出通项公式\(b_n\)；
第三问： 要证明\(c_1+c_2+⋯+c_n<2\sqrt{a_n}=2\sqrt{n}\)，想到用放缩法或数学归纳法；
放缩的技巧性较强，目的性要明确：把\(c_1+c_2+⋯+c_n\)放大些即把\(c_n=\sqrt{\dfrac{n-1}{n(n+1) } }\)放大些，
可尝试把分子\(n-1\)变大或分母\(n(n+1)\)变小，
比如\(c_n=\sqrt{\dfrac{n-1}{n(n+1) } }<\sqrt{\dfrac{n}{n(n+1)}} =\sqrt{\dfrac{1}{n+1}}\)或\(c_n=\sqrt{\dfrac{n-1}{n(n+1) } }<\sqrt{\dfrac{n-1}{n^2}}\)等，具体细看解答过程；
用数学归纳法：当\(n=1\)时成立，假设当\(n=k\)时\(c_1+c_2+⋯+c_k<2\sqrt{k}\)成立，
当\(n=k+1\)时，\(c_1+c_2+⋯+c_k+c_{k+1}<2\sqrt{k}+c_{k+1}=2\sqrt{k}+\sqrt{\dfrac{k}{(k+1)(k+2)} }\)，
则只需要证明\(2\sqrt{k}+\sqrt{\dfrac{k}{(k+1)(k+2)} }<2\sqrt{k+1 }⟺\sqrt{\dfrac{k}{(k+1)(k+2)} }<\dfrac{2}{\sqrt{k+1 }+\sqrt{k}}\)；
或者把放缩法与数学归纳法相结合思考分析.
【解答】
第一问：
设等差数列\(\{a_n \}\)的公差为d，
因为\(a_1\)，\(a_2\)，\(a_3+1\)成等比数列，
所以\(a_2^2=a_1 (a_3+1)⇒(1+d)^2=1+2d+1⇒d=1\)，或\(d=-1\)，
当\(d=1\)时，\(a_1=1\)，\(a_2=2\)，\(a_3+1=4\)，显然\(a_1\)，\(a_2\)，\(a_3+1\)成等比数列，
当\(d=-1\)时，\(a_1=1\)，\(a_2=0\)，\(a_3+1=0\)，显然\(a_1\)，\(a_2\)，\(a_3+1\)不能成等比数列，
所以\(d=1\)，于是\(a_n=1+(n-1)⋅1=n\)；
第二问：
由（1）得\(a_n=n\)，所以\(b_n+2b_{n-1}+⋯+nb_1=3^n-1\)①，
所以\(b_{n-1}+2b_{n-2}+⋯+(n-2)b_2+(n-1)b_1=3^{n-1}-1\)②，
由①-②得，\(b_n+b_{n-1}+⋯+b_1=2⋅3^{n-1}\)③，
所以当\(n≥2\)时，\(b_{n-1}+b_{n-2}+⋯+b_1=2⋅3^{n-2}\)④，
由③-④得\(b_n=4⋅3^{n-2} (n≥2)\)，
而\(b_1=2\)不符合\(b_n=4⋅3^{n-2} (n≥2)\)，
所以\(b_n=\left\{
\begin{array}{c}
2,n=1\\
4⋅3^{n-2},n≥2
\end{array}
\right.
\)；
第三问：
\(c_n=\sqrt{\dfrac{n-1}{n(n+1) } }<\sqrt{\dfrac{1}{n} } = \dfrac{1}{\sqrt{n}} = \dfrac{2}{2\sqrt{n}} < \dfrac{2}{\sqrt{n} +\sqrt{n-1} } =2(\sqrt{n} -\sqrt{n-1} )\)，
所以\(c_1+c_2+⋯+c_n<2(\sqrt{1}-\sqrt{0})+2(\sqrt{2}-\sqrt{1})+⋯+2(\sqrt{n} -\sqrt{n-1} )=2\sqrt{n}\).
小结： 放缩法的技巧强，最后主要是利用了求数列前\(n\)项和的“裂项求和法”，裂项求和中常见的公式有：\(\dfrac{1}{n(n+k)} =\dfrac{1}{k} (\dfrac{1}{n} -\dfrac{1}{n+k} )\)，\(\dfrac{1}{n^2-1} =\dfrac{1}{2} (\dfrac{1}{n-1} -\dfrac{1}{n+1} )\)，\(\dfrac{1}{\sqrt{n} +\sqrt{n-1} } =\sqrt{n} -\sqrt{n-1}\)，\(\dfrac{n+1}{n^2 (n+2)^2} =\dfrac{1}{4} (\dfrac{1}{n^2} -\dfrac{1}{(n+2)^2} )\)等.