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Day 87：【99天精通Python】机器学习进阶 - PCA 降维 - 抓住数据的"主干"

前言

欢迎来到第87天！

在机器学习中，我们经常遇到高维数据。比如，一张 100x100 像素的图片，拉平后就是 10000 个特征；一份用户调查问卷，可能有上百个问题。

特征太多会带来维度灾难 (Curse of Dimensionality)：

1. 计算量大：模型训练极慢。
2. 过拟合：模型学到了太多噪声，泛化能力差。
3. 无法可视化：超过三维的数据，人类就看不懂了。

降维 (Dimensionality Reduction)就是在尽可能保留原始信息的前提下，用更少的特征来表示数据。主成分分析 (Principal Component Analysis, PCA)是最经典、最常用的降维方法。

本节内容：

• PCA 原理：旋转坐标轴
• Sklearn 中的PCA
• 如何选择降维后的维度 (n_components)
• 可视化降维效果
• 实战练习：手写数字降维与重建

一、PCA 原理：找到最重要的方向

PCA 的目标是找到一个新的坐标系，在这个坐标系下，数据点的方差最大。方差越大，代表信息量越丰富。
这些新的坐标轴，就叫做主成分 (Principal Components)。

[外链图片转存中…(img-1L5jRPDv-1768773842454)]

上图中，PC1 是方差最大的方向（第一个主成分），PC2 是与 PC1 正交且方差次大的方向。
如果我们只想保留一维，那么所有点都投影到 PC1 轴上，这就是降维。

二、Sklearn 实现

我们用一个三维数据来演示。

importnumpyasnpfromsklearn.decompositionimportPCAimportmatplotlib.pyplotasplt# 1. 创建一个 3D 数据集np.random.seed(42)X=np.dot(np.random.rand(2,2),np.random.randn(2,200)).T X[:,1]+=0.5*X[:,0]X=np.hstack([X,0.1*np.random.randn(200,1)])# 增加一个噪声维度# 2. 初始化 PCA# n_components=2: 我们想降到 2 维pca=PCA(n_components=2)# 3. 训练并转换X_2d=pca.fit_transform(X)# 4. 查看结果print(f"原始形状:{X.shape}")# (200, 3)print(f"降维后形状:{X_2d.shape}")# (200, 2)# 可视化对比fig=plt.figure(figsize=(10,5))ax1=fig.add_subplot(121,projection='3d')ax1.scatter(X[:,0],X[:,1],X[:,2])ax1.set_title("Original 3D Data")ax2=fig.add_subplot(122)ax2.scatter(X_2d[:,0],X_2d[:,1])ax2.set_title("PCA to 2D")# plt.show()

三、如何选择降维的维度？

通常我们不会直接指定n_components=2，而是让 PCA 帮我们决定。
一个常见的做法是：保留 95% 的信息。

3.1 解释方差比 (Explained Variance Ratio)

# 初始化时不指定 n_componentspca=PCA()pca.fit(X)# 查看每个主成分能解释的方差比例print(pca.explained_variance_ratio_)# 查看累计方差比cumulative_variance=np.cumsum(pca.explained_variance_ratio_)plt.plot(range(1,len(cumulative_variance)+1),cumulative_variance,marker='o')plt.xlabel("Number of Components")plt.ylabel("Cumulative Explained Variance")plt.grid(True)# plt.show()

3.2 自动选择

我们可以直接在 PCA 中设置保留的方差比例。

# 自动选择能保留 95% 方差的主成分数量pca=PCA(n_components=0.95)X_reduced=pca.fit_transform(X)print(f"保留95%信息后，维度变为:{X_reduced.shape[1]}")

四、实战：MNIST 降维与可视化

手写数字图片是 28x28 = 784 维的，我们无法直接可视化。
我们可以用 PCA 把它降到 2 维，然后画出来，看看不同数字是否能自动分开。

fromsklearn.datasetsimportfetch_openmlfromsklearn.preprocessingimportStandardScaler# 1. 加载数据 (只取 5000 个，否则太慢)X,y=fetch_openml('mnist_784',version=1,return_X_y=True,as_frame=False)X,y=X[:5000],y[:5000]# 2. 标准化scaler=StandardScaler()X_scaled=scaler.fit_transform(X)# 3. PCA 降维pca=PCA(n_components=2)X_pca=pca.fit_transform(X_scaled)# 4. 可视化plt.figure(figsize=(10,8))y_numeric=y.astype(int)plt.scatter(X_pca[:,0],X_pca[:,1],c=y_numeric,cmap=plt.cm.get_cmap('jet',10),alpha=0.6)plt.colorbar(label='Digit Label')plt.xlabel("Principal Component 1")plt.ylabel("Principal Component 2")plt.title("PCA of MNIST Dataset")# plt.show()

从图中可以看出，PCA 成功地把一些相似的数字（如 1 和 7）在二维空间中分开了。

五、降维 vs 特征选择

• 特征选择 (Feature Selection)：从原有特征中挑选出一部分（如 100 个特征里选 10 个）。
• PCA 降维：将原有特征线性组合，创造出全新的、更少的主成分特征。

PCA 保留了所有特征的信息（只是权重不同），而特征选择会完全丢弃某些特征。

六、常见问题

Q1：PCA 需要标准化吗？

必须！PCA 是基于方差的。如果某个特征的数值范围特别大（如收入），它会主导整个 PCA 的计算，导致其他特征被忽略。

Q2：降维后能恢复吗？

可以，但会丢失一部分信息。
X_reconstructed = pca.inverse_transform(X_reduced)

Q3：PCA 是最好的降维方法吗？

不是。PCA 只能做线性降维。对于复杂的非线性结构（如瑞士卷），需要用t-SNE或UMAP。

七、小结

关键要点：

1. PCA是处理高维数据的利器，能有效减少计算量和噪声。
2. 降维前必须对数据进行标准化。
3. 通过explained_variance_ratio_可以判断降维保留了多少信息。

八、课后作业

1. 图像压缩：读取一张灰度图片，将其reshape成一个长向量，用 PCA 降维（保留 80% 信息），然后再inverse_transform恢复成图片，看看和原图有多大差别。
2. t-SNE：查阅sklearn.manifold.TSNE，用它来对 MNIST 数据进行降维，并与 PCA 的结果进行对比。
3. 人脸识别：加载 sklearn 自带的fetch_lfw_people数据集，使用 PCA + SVM 进行人脸识别分类。

下节预告

Day 88：实战篇总结与项目复盘- 我们的实战篇（Day 46-87）即将结束。明天我们将对数据分析和机器学习部分进行全面复盘，并展望最终的项目篇（二）！

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