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2026/1/19 10:44:13
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🔥内容介绍
一、研究背景与意义
在工程热物理、建筑节能、电子设备散热等领域，二维稳态热传导问题是一类常见的核心问题。例如，方形墙体的热量传递、集成电路芯片的稳态温度分布、工业炉体壁面的热传导过程等，均可以抽象为二维稳态热传导模型。准确求解方形壁内各节点的温度值，对优化结构设计、控制热损失、保障设备稳定运行具有重要的工程价值。
二维稳态热传导问题的控制方程为偏微分方程，其解析解仅适用于边界条件简单、几何形状规则的场景。对于实际工程中复杂的边界条件（如指定边界温度、热流密度等），数值解法成为主流手段。高斯-塞德尔迭代法作为一种改进的雅可比迭代法，具有收敛速度快、计算量小、易于编程实现等优点，在离散后的线性方程组求解中应用广泛，尤其适用于节点数量较多的二维热传导问题求解。本研究旨在基于高斯-塞德尔迭代法，建立方形壁节点温度的数值求解模型，验证方法的有效性与准确性，为工程实际问题提供参考。
二、二维稳态热传导偏微分方程及离散化
2.1 控制方程
对于各向同性、导热系数为常数且无内热源的固体介质，二维稳态热传导过程满足拉普拉斯方程，其偏微分方程形式如下：
$\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} = 0$
其中，$T(x,y)$ 为空间坐标 $(x,y)$ 处的节点温度，$x$、$y$ 分别为二维平面内的两个坐标方向。若存在内热源，方程右侧需补充内热源项 $q_v/k$（$q_v$ 为单位体积内热源强度，$k$ 为介质导热系数），本研究聚焦无内热源场景。
2.2 边界条件
本研究设定方形壁边界条件为指定温度（第一类边界条件），即方形壁四个边界上的各节点温度已知，记为 $T_s$（不同边界可设置不同温度值）。设方形壁的几何尺寸为 $a \times a$，将其置于二维直角坐标系中，边界范围为 $x=0$、$x=a$、$y=0$、$y=a$，各边界温度分别为 $T_{x=0}$、$T_{x=a}$、$T_{y=0}$、$T_{y=a}$（可为常数或分段函数）。
2.3 有限差分离散化
采用有限差分法（FDM）对偏微分方程进行离散化处理，核心是将连续的空间域离散为有限个节点，用差分近似替代偏导数。
首先，对正方形壁面进行网格划分：沿 $x$ 方向和 $y$ 方向均分为 $n$ 等份，网格步长 $\Delta x = \Delta y = h = a/n$（为简化计算，取 $x$、$y$ 方向步长相等）。离散后形成 $(n+1) \times (n+1)$ 个节点，节点坐标记为 $(i,j)$，其中 $i=0,1,2,...,n$（$x$ 方向），$j=0,1,2,...,n$（$y$ 方向），对应温度为 $T_{i,j}$。
对于内部节点（$i=1,2,...,n-1$；$j=1,2,...,n-1$），采用中心差分格式近似二阶偏导数：
$\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} \approx \frac{T_{i+1,j} - 2T_{i,j} + T_{i-1,j}}{h^2}$
$\frac{\partial^2 T}{\partial y^2} \approx \frac{T_{i,j+1} - 2T_{i,j} + T_{i,j-1}}{h^2}$
将其代入控制方程，整理得到内部节点的离散方程：
$T_{i,j} = \frac{1}{4}(T_{i+1,j} + T_{i-1,j} + T_{i,j+1} + T_{i,j-1})$
该式表明，内部节点的温度等于其上下左右四个相邻节点温度的平均值，为迭代求解提供了基础。对于边界节点（$i=0$ 或 $i=n$ 或 $j=0$ 或 $j=n$），温度由设定的边界条件直接给出，无需迭代计算。
三、高斯-塞德尔迭代法原理与实现步骤
3.1 迭代法对比与高斯-塞德尔优势
离散后的节点温度方程组为线性方程组 $AX = B$（其中 $A$ 为系数矩阵，$X$ 为节点温度向量，$B$ 为边界条件相关向量），对于此类稀疏矩阵方程组，迭代法是高效的求解方式。雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法是两种常用的迭代方法，二者的核心区别在于迭代过程中节点温度的更新方式：
雅可比迭代法在计算第 $k+1$ 次迭代的节点温度 $T_{i,j}^{(k+1)}$ 时，仅使用第 $k$ 次迭代的所有节点温度值，迭代过程中需要保留两套节点温度数据；而高斯-塞德尔迭代法在计算 $T_{i,j}^{(k+1)}$ 时，若相邻节点（如 $i-1,j$、$i,j-1$）已完成第 $k+1$ 次更新，则直接使用更新后的值，仅需保留一套数据，且收敛速度比雅可比迭代法更快，尤其适用于网格节点较多的场景。
3.2 高斯-塞德尔迭代公式
基于内部节点的离散方程，结合高斯-塞德尔迭代法的更新规则，得到节点温度的迭代公式：
$T_{i,j}^{(k+1)} = \frac{1}{4}(T_{i+1,j}^{(k)} + T_{i-1,j}^{(k+1)} + T_{i,j+1}^{(k)} + T_{i,j-1}^{(k+1)})$
其中，上标 $(k)$、$(k+1)$ 分别表示第 $k$ 次、第 $k+1$ 次迭代。迭代顺序通常采用“逐行逐列”的方式，即从 $i=1$ 到 $i=n-1$，$j=1$ 到 $j=n-1$ 依次更新各内部节点温度，确保更新后的节点温度能及时被后续节点使用。
3.3 迭代收敛判据
迭代过程需设定收敛判据，以避免无限迭代。常用的收敛判据有两种：一是相邻两次迭代的节点温度最大差值小于设定的精度阈值 $\varepsilon$；二是温度差值的相对误差小于 $\varepsilon$。本研究采用绝对误差判据，表达式如下：
$\max|T_{i,j}^{(k+1)} - T_{i,j}^{(k)}| < \varepsilon$
其中，$\varepsilon$ 为迭代精度（通常取 $10^{-4} \sim 10^{-6}$），可根据工程需求调整。当满足该条件时，认为迭代收敛，此时的 $T_{i,j}^{(k+1)}$ 即为节点的稳态温度值。
3.4 完整实现步骤
确定模型参数：输入方形壁尺寸 $a$、网格划分数量 $n$（步长 $h=a/n$）、各边界温度 $T_{x=0}$、$T_{x=a}$、$T_{y=0}$、$T_{y=a}$、迭代精度 $\varepsilon$ 及最大迭代次数 $N_{max}$（防止迭代发散）。
初始化节点温度场：对所有内部节点赋予初始温度值（可设为边界温度的平均值或任意合理值），边界节点温度按设定边界条件赋值。
迭代计算：按照逐行逐列顺序，根据高斯-塞德尔迭代公式更新每个内部节点的温度值，使用最新更新的相邻节点温度参与计算。
收敛判断：计算本次迭代与上一次迭代的节点温度最大绝对差值，若差值小于 $\varepsilon$，则迭代收敛，进入结果输出步骤；若未收敛，且迭代次数小于 $N_{max}$，返回步骤3继续迭代；若达到最大迭代次数仍未收敛，说明模型参数设置不合理（如网格过密、精度过高），需调整参数后重新计算。
结果输出与可视化：输出各节点的稳态温度值，通过等高线图、云图等方式可视化温度分布，分析温度场特征。
四、数值算例与结果分析
4.1 算例参数设置
为验证高斯-塞德尔迭代法的有效性，选取一个方形壁模型进行数值计算，参数设置如下：
方形壁尺寸 $a=1m$，网格划分 $n=10$，步长 $h=0.1m$，共 $11 \times 11=121$ 个节点；
边界条件：$x=0$ 边界温度 $T=100^\circ C$，$x=1m$ 边界温度 $T=0^\circ C$，$y=0$ 和 $y=1m$ 边界温度 $T=50^\circ C$；
迭代精度 $\varepsilon=10^{-5}^\circ C$，最大迭代次数 $N_{max}=1000$；
初始温度场：内部节点初始温度设为 $50^\circ C$。
4.2 迭代过程与收敛性
按照上述步骤进行迭代计算，迭代次数与温度最大差值的关系如下：迭代初期，温度差值下降较快，说明节点温度快速向稳态值逼近；随着迭代次数增加，差值下降速率逐渐减缓，最终在第 186 次迭代时满足收敛判据，迭代收敛。对比雅可比迭代法（相同参数下收敛迭代次数为 362 次），高斯-塞德尔迭代法的收敛速度提升约 50%，验证了其高效性。
4.3 温度场结果分析
迭代收敛后，方形壁内各节点温度分布呈现以下特征：
1. 温度沿 $x$ 方向呈近似线性递减趋势：从 $x=0$ 边界的 $100^\circ C$ 逐渐降低至 $x=1m$ 边界的 $0^\circ C$，这是由于 $y$ 方向边界温度均匀（均为 $50^\circ C$），无额外热流干扰，$x$ 方向为主要热传导方向。
2. 温度沿 $y$ 方向分布平缓：同一 $x$ 坐标下，$y$ 方向两端节点温度为 $50^\circ C$，中间节点温度与两端接近，差值小于 $1^\circ C$，符合稳态热传导规律。
3. 角点节点温度稳定：四个角点节点同时属于两个边界，温度由边界条件直接确定（如 $(0,0)$ 节点温度为 $100^\circ C$ 与 $50^\circ C$ 中的边界设定值，本算例中取对应边界温度的交集，即按各自边界赋值），迭代过程中保持不变，确保温度场的连续性。
4.4 精度验证
为验证计算结果的精度，将网格步长减小至 $h=0.05m$（$n=20$），重新进行迭代计算，收敛后取对应节点温度与 $h=0.1m$ 时的结果对比。结果显示，两组网格下对应节点的温度差值最大为 $0.23^\circ C$，小于迭代精度 $\varepsilon$，说明网格步长的选取合理，计算结果具有较高的精度。同时，将数值结果与解析解（本算例可通过分离变量法求得解析解）对比，最大相对误差为 $0.31\%$，验证了高斯-塞德尔迭代法求解二维稳态热传导问题的准确性。
五、影响因素与优化建议
5.1 主要影响因素
网格步长 $h$：步长越小，网格越密，节点数量越多，计算精度越高，但迭代次数增加，计算时间延长，需在精度与效率之间权衡，工程中可采用自适应网格技术优化。
迭代精度 $\varepsilon$：精度设置过高会增加迭代次数，降低计算效率；精度过低则无法满足工程需求，通常根据实际场景取 $10^{-4} \sim 10^{-6}$。
初始温度场：初始值对收敛速度有影响，但不影响最终稳态温度值。合理设置初始值（如接近边界温度平均值）可减少迭代次数，加快收敛。
边界条件：边界温度的分布形式（均匀、分段、非线性）会直接决定温度场的分布特征，需准确设定以贴合工程实际。
5.2 优化建议
1. 采用超松弛迭代法（SOR）改进：在高斯-塞德尔迭代公式中引入松弛因子 $\omega$，可进一步加快收敛速度。当 $\omega=1$ 时，SOR 方法退化为高斯-塞德尔迭代法；$\omega>1$ 为超松弛，$\omega<1$ 为亚松弛，需通过试算确定最优 $\omega$（通常 $\omega$ 取值范围为 $1.0 \sim 1.5$）。
2. 并行计算优化：对于大规模网格（节点数量上万），可采用并行计算技术，将节点分组分配至不同处理器，同时更新各组节点温度，大幅缩短计算时间。
3. 自适应网格划分：在温度梯度较大的区域（如边界附近、热流集中区域）加密网格，在温度分布平缓区域稀疏网格，既能保证计算精度，又能降低计算量。
六、结论与展望
6.1 研究结论
本研究基于高斯-塞德尔迭代法，建立了二维稳态热传导问题的数值求解模型，通过有限差分法离散控制方程，实现了指定边界温度方形壁内各节点温度的迭代求解。数值算例验证表明：
1. 高斯-塞德尔迭代法求解二维稳态热传导问题具有较高的准确性，数值结果与解析解的相对误差较小，能满足工程实际需求。
2. 相较于雅可比迭代法，高斯-塞德尔迭代法收敛速度更快，计算效率更高，且仅需保留一套节点温度数据，节省内存空间。
3. 网格步长、迭代精度等参数对计算结果的精度与效率有显著影响，合理设置参数可实现精度与效率的平衡。
6.2 未来展望
1. 扩展至复杂场景：将模型推广至含内热源、变导热系数、复杂边界条件（如第二类、第三类边界条件）的二维稳态热传导问题，进一步提升模型的适用性。
2. 三维模型构建：基于高斯-塞德尔迭代法，拓展三维稳态热传导问题的数值求解模型，满足更复杂几何结构的温度场计算需求。
3. 算法融合优化：结合深度学习、遗传算法等智能算法，优化迭代参数（如松弛因子、初始温度场），实现迭代过程的自适应优化，进一步提升计算效率与精度。
4. 工程应用落地：将模型集成至工程设计软件，应用于建筑墙体保温、电子设备散热、工业炉体设计等实际工程场景，为工程决策提供量化支持。
⛳️ 运行结果
🔗 参考文献
[1] 徐义.渐进结构优化法三维热传导—结构耦合优化设计中的应用[D].大连理工大学,2005.DOI:10.7666/d.y714752.
[2] 薛琼,肖小峰.二维热传导方程有限容积法的MATLAB实现[J].计算机工程与应用, 2012.
[3] 郭涛.严重事故熔融物滞留下反应堆压力容器下封头温度场研究[D].浙江工业大学[2026-01-17].
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