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球坐标下狄拉克方程的变量分离与谱理论

在研究涉及旋转对称势的狄拉克哈密顿量时，变量分离是一种常用且重要的方法。下面我们将深入探讨这一过程以及相关的谱理论。

1. 算子与谱的基本性质

首先，存在一个形如 $Zv$ 的形式，其中 $v$ 是微分方程（7.3.6）在 $\lambda = \frac{1}{\rho}$ 时关于变量 $r$ 的分布解，并且分布核（7.3.11）在 $0$ 和 $\infty$ 附近都是 $L^2$ 的。

算子 $U$ 作为从 $H^2$ 到 $H^2$ 的映射，是一个等距映射，其值域为 $H^2_{ac}$，并且满足 $U^U = 1$，$U^(V (r))^{\sim}U = \frac{1}{r} = V (r)$。这意味着酉算子 $U$ 能将修正后的势 $(V(r))^{\sim}$ 转换为未受扰动的势 $V(r)$。在负实轴上，最多只有离散谱。

2. 球坐标的引入

为了对狄拉克方程进行变量分离，我们引入球坐标。在 $\mathbb{R}^3$ 中，球坐标的表示为：
[
\begin{cases}
x_1 = r \sin \theta \cos \phi \
x_2 = r \sin \theta \sin \phi \
x_3 = r \cos \theta
\end{cases}
]
其中 $0 \leq r < \infty$，$0 \leq \theta \leq \pi$，$0 \leq \phi \leq 2\pi$。其逆变换为：
[
\begin{cases}